Hàm đa biến

Đối xứng chẵn:

Một hàm f : R n → R {\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} } được gọi là có đối xứng chẵn nếu thỏa mãn:

f ( x 1 , x 2 , … , x n ) = f ( − x 1 , − x 2 , … , − x n ) với mọi  x 1 , … , x n ∈ R {\displaystyle f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=f(-x_{1},-x_{2},\ldots ,-x_{n})\quad {\text{với mọi }}x_{1},\ldots ,x_{n}\in \mathbb {R} }

Đối xứng lẻ:

Một hàm f : R n → R {\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} } được gọi là có đối xứng lẻ nếu thỏa mãn:

f ( x 1 , x 2 , … , x n ) = − f ( − x 1 , − x 2 , … , − x n ) với mọi  x 1 , … , x n ∈ R {\displaystyle f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=-f(-x_{1},-x_{2},\ldots ,-x_{n})\quad {\text{với mọi }}x_{1},\ldots ,x_{n}\in \mathbb {R} }

Các hàm có giá trị phức

Các định nghĩa cho đối xứng chẵn và lẻ cho các hàm giá trị phức với đối số thực là tương tự như trường hợp hàm giá trị thực nhưng liên quan đến liên hợp phức.

Đối xứng chẵn:

Một hàm giá trị phức với đối số thực f : R → C {\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {C} } được gọi là có đối xứng lẻ nếu:

f ( x ) = f ( − x ) ¯ với mọi  x ∈ R {\displaystyle f(x)={\overline {f(-x)}}\quad {\text{với mọi }}x\in \mathbb {R} }

Đối xứng lẻ:

Một hàm giá trị phức với đối số thực f : R → C {\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {C} } được gọi là có đối xứng lẻ nếu:

f ( x ) = − f ( − x ) ¯ với mọi  x ∈ R {\displaystyle f(x)=-{\overline {f(-x)}}\quad {\text{với mọi }}x\in \mathbb {R} }

Dãy có độ dài hữu hạn

Định nghĩa đối xứng lẻ và chẵn còn được mở rộng cho các dãy N-điểm (ví dụ các hàm có dạng f : { 0 , 1 , … , N − 1 } → R {\displaystyle f:\left\{0,1,\ldots ,N-1\right\}\to \mathbb {R} } ) như sau:[4]:p. 411

Đối xứng chẵn:

Một dãy N-điểm được gọi là có đối xứng chẵn nếu

f ( n ) = f ( N − n ) với mọi  n ∈ { 1 , … , N − 1 } . {\displaystyle f(n)=f(N-n)\quad {\text{với mọi }}n\in \left\{1,\ldots ,N-1\right\}.}

Một dãy như vậy thường được gọi là dãy palindrome; xem thêm Đa thức palindrome.

Đối xứng lẻ:

Một dãy N-điểm được gọi là có đối xứng lẻ nếu

f ( n ) = − f ( N − n ) với mọi  n ∈ { 1 , … , N − 1 } . {\displaystyle f(n)=-f(N-n)\quad {\text{với mọi }}n\in \left\{1,\ldots ,N-1\right\}.}

Một dãy như vậy đôi khi còn được gọi là một dãy anti-palindrome; xem thêm Đa thức antipalindrome.